División

Cómo resolver un ejercicio de división de decimales

¿Sabes dividir números decimales? Con este post aprenderás a resolver distintos tipos de división de decimales.

Cómo dividir entero entre entero con resultado decimal

Cuando hagamos una división y nos quede un resto distinto de cero podemos seguir dividiendo para sacar decimales. ¿Cómo lo hacemos? Se añade un cero al resto y una coma en el cociente. Ahora podemos continuar dividiendo.

Vamos a verlo con un ejemplo:

Dividimos 64 por 5, de cociente obtenemos 12 y de resto tenemos 4.

Como el resto es distinto de cero, podemos sacar decimales: añadimos una coma en el cociente y un cero al resto.

Ahora podemos dividir 40 por 5. El resultado es 8 y el resto es cero. Ya no podemos sacar más decimales.

Te recomiendo que veas este vídeo tutorial sobre la división con resultado decimal.

Cómo dividir decimal entre entero

Se divide igual que entero entre entero, pero cuando bajemos el primer decimal del dividendo hay que escribir una coma en el cociente.

Vamos a verlo con un ejemplo:

Empezamos dividiendo 75 entre 8, de cociente nos queda 9 y de resto 3.

Ahora tenemos que bajar el siguiente número, pero ¡cuidado!, el siguiente número es el primer número decimal. En ese caso debemos añadir una coma en el cociente.

Ahora solo nos queda dividir 32 entre 8, de cociente nos queda 4 y de resto nos queda cero. Por lo tanto, ya hemos terminado de hacer la división.

Cómo dividir entero entre decimal

Hay que quitar el cero del divisor, para ello debemos añadir al dividendo tantos ceros como decimales tenía el divisor.

Vamos a verlo con un ejemplo:

En este caso, el divisor tiene una cifra decimal. Por lo tanto, tenemos que añadir un cero al dividendo y quitar la coma del divisor.

Ahora podemos dividir 210 entre 25. Queda de cociente 8 y de resto 10.

Como el resto es distinto de cero podemos sacar decimales, añadiendo una coma al cociente y escribiendo un cero en el resto.

Dividiendo 100 entre 25 obtenemos de cociente 4 y de resto cero. Ya no podemos sacar más decimales.

Cómo dividir decimal entre decimal

Hay que quita la coma del divisor, para ello se mueve la coma del dividendo hacia la derecha tantas posiciones como número decimales tenga el divisor.

Vamos a verlo con un ejemplo:

En este caso el divisor tiene 2 decimales, por lo tanto tendremos que mover la coma del dividendo 2 posiciones a la derecha.

Pero como el dividendo solo tiene 1 decimal, nos quedaría otra posición por mover. ¿Qué hacemos? Añadir 1 cero.

Ahora nos queda una división de números enteros: 630 entre 2, y el resultado es 315.

¿Te ha gustado? Pues compártelo con tus amigos para que ellos también aprendan a hacer división de decimales.

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Multiplicación

 

Multiplicaciones con números decimales

En este post aprenderemos a realizar otra operación con decimales, las multiplicaciones con números decimales.

Vamos a ir viendo caso por caso

Multiplicaciones de números decimales por números enteros

Para multiplicar un número decimal por un número entero, se multiplica como si el número decimal fuera un número entero.

En el resultado se separan tantas cifras decimales como tenía el número decimal.

Al realizar la multiplicación de 74,15 x 3, primero multiplicamos como si no existiesen los decimales, 7415 x 3

Una vez terminada la multiplicación, contamos que 74,15 tiene dos decimales, por lo que ponemos una coma contando dos posiciones de derecha a izquierda.

Por lo tanto, el resultado será 222,45

Multiplicaciones de números decimales por números decimales

Para realizar multiplicaciones de número decimales por números decimales se realiza la operación como si fuesen números enteros.

En el resultado se separan tantas cifras decimales como decimales tengan entre los dos números.

Veamos un ejemplo, multiplicando 1,42 x 1,3

Realizamos la multiplicación como si fueran números enteros: 142 x 13

Una vez terminada la multiplicación, tendremos que sumar cuantas posiciones decimales hay entre los dos números decimales.

En este caso hay tres posiciones decimales, por lo que pondremos una coma en el resultado de la multiplicación contando tres de derecha a izquierda.

El resultado de la operación es 1,846

Multiplicación de número decimal por número entero terminado en ceros

Se separa el número entero seguido de ceros en un número entero multiplicado por la unidad seguida de tantos ceros como había antes.

A continuación, se multiplica el número entero por el número decimal.

Para terminar, se multiplica por el número que contiene los ceros.

Veamos un ejemplo para que quede más claro. Multiplicamos 0,04 x 20

Separamos el número seguido de ceros en un número enero multiplicado por la unidad seguida de ceros, en este caso el 20 sería lo mismo que 2 x 10, por lo que la multiplicación quedaría

0,04 x 2 x 10

Multiplicamos el número entero 2 por el número decimal 0,04

2 x 0,04 = 0,08

La operación nos quedaría 0,08 x 10. Para realizar esta multiplicación solo tendríamos que mover la coma de 0,08 tantos ceros como tenga la unidad seguida de ceros, en este caso, un lugar hacia la derecha.

El resultado sería 0,8.

Vídeo tutorial sobre la multiplicación de decimales

Si quieres repasar lo que hemos visto en este post, echa un vistazo a este vídeo tutorial sobre la multiplicación de decimales.

Algoritmo de bloques

Multiplicación: el algoritmo con la ayuda de bloques

Los bloques de base 10 son muy útiles para aprender matemáticas y en concreto las operaciones. Por eso, en la entrada de esta semana vamos a ver cómo aprender el algoritmo de la multiplicación con ayuda de los bloques de base 10.

¿Ya sabes hacer una multiplicación por una cifra? Si tu respuesta es NO, en este post aprenderás de la manera más sencilla a hacer una multiplicación y a entender su algoritmo. Si tu respuesta es SÍ, verás de dónde viene el método que has aprendido.

¡Comenzamos!

Vamos a hacer la multiplicación 267 x 2. Para ello, lo primero es escribir el número 267 con los bloques.

Como ves, el número 267 está formado por 2 centenas, 6 decenas y 7 unidades.

Ahora empezamos a multiplicar por 2 las unidades. 7 x 2 = 14

Como ya sabes, un grupo de 10 unidades forma una barra de una decena por eso marcamos 10 unidades para pasarla a la parte de las decenas.

Ahora multiplicamos las decenas: 6 x 2 = 12

Como ya sabes, un grupo de 10 decenas forma una placa de una centena por eso marcamos 10 decenas para pasarla a la parte de las centenas.

Ahora multiplicamos las centenas: 2 x 2 = 4

Ya hemos terminado la multiplicación. Han quedado 5 centenas, 3 decenas y 4 unidades. Por lo tanto, el resultado de la multiplicación es 534.

¿Qué te ha parecido? Ahora vamos a ver cómo sería con la multiplicación clásica en vertical.

Multiplicamos las unidades:

7 x 2 = 14. Escribimos el 4 en las unidades y nos llevamos 1 (1 decena que se ha formado).

Multiplicamos las decenas:

6 x 2 = 12. Sumamos 1 que nos llevábamos y obtenemos 13. Escribimos el 3 en la decenas y nos llevamos 1 (1 centena que se ha formado).

Multiplicamos las centenas:

2 x 2 = 4. Sumamos 1 que nos llevábamos y obtenemos 5.

¿Te ha gustado? ¿Te ha resultado útil? Comparte el post con tus amigos y compañeros para que ellos también aprendan el algoritmo de la multiplicación con los bloques de base 10.

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Multiplicación

 

Repasamos las propiedades de la multiplicación

A veces multiplicar puede resultarnos complicado pero, conociendo las tablas de multiplicar y las propiedades de la multiplicación, podemos convertir esta tarea en algo mucho más fácil…

¡Vamos a verlo!

Las propiedades de la multiplicación son tres: conmutativa, asociativa y distributiva.

Propiedad conmutativa

Establece que el orden de los factores no altera el producto, es decir, da igual si multiplicó 7×5 o 5×7, el resultado siempre será el mismo, 35.

Así, puede que esa tabla de multiplicar que nos costaba más memorizar deje de ser tan difícil, porque podemos cambiar el orden de los factores y, 7×5, deja de ser tan difícil, porque la tabla del cinco es más fácil: 5×7=35.

Propiedad asociativa

Esta propiedad y la anterior son dos propiedades de la multiplicación vinculadas entre sí. Así, esta propiedad establece que, en una serie de multiplicaciones consecutivas, el orden en que se multipliquen sus factores es indiferente. De tal modo, para multiplicar 7x5x3, me dará igual hacer (7×5)x3 que 7x(5×3), siempre me dará 105.

Sabiendo esta propiedad de la multiplicación podremos resolver fácilmente algunas operaciones que nos parezcan complicadas dividiendo los factores en productos de números menores; por ejemplo 7×15 puede resultarnos difícil, pero podemos expresar el 15 como 5×3 y obtener 7x5x3, que puede resolverse de varias formas atendiendo a su propiedad asociativa:

(7*5)*3

O como estaba al principio 7x(5×3)

¿Qué multiplicación te resulta más fácil?

Propiedad distributiva

Esta es la última de las propiedades de la multiplicación y establece que multiplicar un número por una suma (o resta) es lo mismo que multiplicar ese número por cada sumando (o minuendo y sustraendo) y sumar (o restar) esos resultados. Es decir, 7x(5+10) es lo mismo que 7×5+7×10, en ambos casos el resultado será 105.

Por lo tanto, cuando nos encontremos con una multiplicación que nos parezca difícil podemos expresar uno de sus números como una suma y aplicar la propiedad distributiva, así:

7×15=7x(5+10)=7×5+7×10=35+70=105

¿No te parecen más fáciles las multiplicaciones 7×5 y 7×10 que 7×15?

Acabamos el post con las expresiones algebraicas que representan las propiedades de la multiplicación son:

• Conmutativa: axb=bxa
• Asociativa: axbxc=ax(bxc)=(axb)xc
• Distributiva: ax(b+c)=axb+axc

Si te han parecido curiosas y útiles estas propiedades, puedes seguir mi blog.

Multiplicación

Multiplicar por dos y por tres cifras

En este post vamos a aprender a multiplicar por dos y tres cifras.

Antes de comenzar vamos a repasar cuales son los términos de la multiplicación.

Términos de la multiplicación

• Factores: Los factores son los números que se multiplican.
• Producto: El producto es el resultado de la multiplicación.
• Multiplicando: El multiplicando es el factor que se encuentra arriba en la multiplicación.
• Multiplicador: El multiplicador es el factor que se encuentra debajo del multiplicando.

Normalmente el multiplicando es mayor que el multiplicador.

Ahora vamos a ver cuales son los pasos para hacer una multiplicación de 2 y 3 cifras.

Pasos para hacer una multiplicación de 2 y de 3 cifras

1. Multiplicar las unidades del multiplicador por el multiplicando y el resultado escribirlo en la fila de abajo.

 

Vamos a ver un ejemplo. Si multiplicamos 781 x 95, lo primero que hay que hacer es multiplicar por 5, que son las unidades de 95, por cada una de las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y poner el resultado, 3905, en la fila de abajo, como muestra la imagen.

2. Multiplicar las decenas del multiplicador por el multiplicando y el resultado escribirlo en la fila de abajo pero desplazado una posición a la izquierda.

Seguimos con el ejemplo. Ahora multiplicamos el 9, ya que son las decenas del multiplicador 95, por el multiplicando 781. El resultado 7029 habrá que escribirlo debajo de 3905 pero desplazándolo una posición hacia la izquierda.

3. Sumar los productos.

Como vemos en la imagen sumamos los productos y el resultado de la multiplicación es 74.195

Si el multiplicador es de tres cifras, el resultado de la multiplicación de las centenas se escribirá desplazado dos posiciones hacia la izquierda. Vamos a ver otro ejemplo.

Si multiplicamos 367 x 251, lo primero que hay que hacer es multiplicar las unidades de 251, es decir, 1, por 367. El resultado sería 367 y lo ponemos en la fila de abajo.

Después multiplicamos las decenas de 251, es decir, 5, por 367. El resultado sería 1835 y lo ponemos en la fila de debajo pero una posición desplazado hacia la izquierda.

A continuación multiplicamos las centenas de 251, es decir, 2, por 367. El resultado sería 734 y lo ponemos en la fila de debajo pero dos posiciones desplazado hacia la izquierda.

Finalmente, hacemos la suma y el producto es 92.117

Vídeo sobre la multiplicación por 2 cifras

Te recomiendo que veas este vídeo tutorial sobre la multiplicación por 2 cifras.

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Métodos de multiplicación

Multiplicaciones con métodos alternativos. Método Ruso y método Hindú

En el post de hoy aprenderemos otros métodos para realizar multiplicaciones, distintos a los que estamos acostumbrados a utilizar.

Primero vamos a viajar a Rusia donde aprenderás cómo multiplicar por el método ruso. A continuación iremos a la India para aprender el método hindú.

En ambos casos vamos a utilizar como ejemplo la misma multiplicación: 34 x 21

Método Ruso

Este método se basa en la descomposición de números en base 2. Aunque así explicado puede resultar un poco difícil, verás como realizar multiplicaciones con este método es sencillo. Solo hay que seguir los siguientes pasos.

Primero, crea una tabla:

• A continuación, coloca los factores que queremos multiplicar (34 y 21):

• Después divide entre 2 el factor de la columna de la derecha (21). El resultado lo vuelves a dividir entre 2 y así sucesivamente hasta llegar a 1. ¡Ten cuidado! Al dividir entre dos, los números impares van a tener resto pero solo nos quedamos con el cociente.

• Y ahora calcula el doble (multiplica por 2) el factor de la columna de la izquierda (34). Hay que hacerlo tantas veces como divisiones hayas hecho en la columna mitad.

• Te habrá quedado esta tabla:

• El siguiente paso es tachar las filas en las que el número de la derecha sea par.

• Por último suma todos los números de la columna izquierda que no estén tachados.

¡Habrás acabado! Y verás que has obtenido que 34 x 21 = 714 Parece magia, ¿verdad?

Método Hindú

¿Cómo se hacen las multiplicaciones con este método? Vamos a verlo también por pasos.

Primero haz una tabla como esta:

• Coloca los factores (34 y 21) de la siguiente manera. La tabla tendrá tantas columnas y filas como dígitos tengan los factores.

• ¡Ya puedes empezar a multiplicar! Ve paso a paso. Primero multiplica 3 x 2 y fíjate bien en cómo colocar el resultado. Como da 6, un número de una sola cifra, es importante que te acuerdes de colocar el 0 primero.

• Haz lo mismo con el resto de números.

• Estás acabando. Fíjate en las diagonales y suma los números.

Tenemos:

– 0 unidades de millar

– 6 centenas

– 11 decenas

– 4 unidades

Ahora separa las 11 decenas en 1 centena y 1 decena. Y suma la centena a las 6 que ya tenías.

Habrás obtenido que 34 x 21 = 714

Si quieres aprender multiplicación con distintos métodos puedes revisar esta entrada anterior del blog.

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Métodos de multiplicación

 

Cómo realizar una multiplicación con distintos métodos

En el post de hoy vamos a conocer cómo realizaban una multiplicación en la antigüedad en distintas culturas.

Te ayudará a comprender mejor el funcionamiento del algoritmo clásico de la multiplicación, que seguro que has practicado bastante, pero que quizá no comprendes del todo por qué es así.

Veremos los métodos Chino y Egipcio, y para entenderlos mejor, resolveremos la multiplicación 31 x 42 con ayuda de ellos.

Método Chino de multiplicación

Los Chinos hacían las multiplicaciones con varillas de bambú, disponiéndolas de manera horizontal y vertical, como veremos el ejemplo.

Veamos cómo puedes multiplicar 31 x 42 mediante este método.

En primer lugar, coloca:

• 3 rayas horizontales separadas la misma distancia y, un poquito más separada, 1 raya horizontal más.
• 4 rayas verticales separadas la misma distancia y, un poquito más separada, 2 rayas verticales más.

Luego cuenta los cruces de cada par de rayas, distinguiendo si son las correspondientes a unidades o decenas:

• Cruzando rayas de unidades, obtienes las unidades del resultado (ya que el producto de unidades devuelve unidades).
• Cruzando rayas de unidades y decenas, obtienes las decenas del resultado (ya que el producto de unidades y decenas devuelve decenas).
• Cruzando rayas de decenas, obtienes las centenas del resultado (ya que el producto de decenas devuelve centenas).

Ahora, puedes recopilar todo lo que has obtenido, que será el resultado de la multiplicación 31 x 42:

• 2 unidades.
• 10 decenas, que es lo mismo que 1 centena.
• 12 centenas, que sumado a la centena de las 10 decenas son 13 centenas. Estas 13 centenas son 1 unidad de millar y 3 centenas.

Habrás obtenido:

1 unidad de millar, 3 centenas y 2 unidades; es decir, 1.302

Así que has obtenido que 31 x 42 = 1.302

Método Egipcio de multiplicación

Los Egipcios hacían las multiplicaciones por un método que consiste en descomponer la multiplicación en una serie de sumas, realizando dobles de uno de los factores de la multiplicación (consiguiendo ponerlo en potencias de 2).

Veamos cómo puedes multiplicar 31 x 42 mediante este método.

Coloca primero 1 y 31, y ve realizando dobles de las 2 cantidades, de la siguiente manera:

Habrás obtenido así distintas multiplicaciones de 31 por potencias de 2.

Ahora lo importante es que busques las que te ayuden a resolver la multiplicación 31 x 42. Para ello, no tienes más que buscar las potencias de 2 que suman 42:

32 + 8 + 2 = 42

Habrás conseguido así descomponer 31 x 42 en sumas que ya has calculado antes fácilmente:

31 x 42 = 31 x (2 + 8 +32) = 31 x 2 + 31 x 8 + 31 x 32 = 62 + 248 + 992 = 310 + 992 = 1.302

Así que habrás obtenido también que 31 x 42 = 1.302

Espero que estos métodos para realizar multiplicaciones te hayan ayudado a comprender mejor el funcionamiento de la multiplicación y te animes a compartirlos con tus amigos. 

Y ya sabes, si quieres aprender y practicar más matemáticas, suscríbete a este blog, muy pronto puedes revisar una entrada de nuestro blog  sobre multiplicaciones con métodos alternativos: el método Ruso y el método Hindú.